Question

已知A（-2，0），B（2，0），P是圆C：（x+3）²+（y-4）²=9上一动点．
（1）求△PAB的重心G的轨迹；
（2）求|PA|²+|PB|²的最大值，最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆方程的综合应用

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）设出G与P的坐标，由重心坐标公式把P的坐标用G的坐标表示，代入已知圆的方程得答案；
（2）运用向量的加减与数量积运算把|PA|²+|PB|²用含有|

OP

|的式子表示，再由|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|求得|

OP

|的范围得答案．

解答： 解：（1）设G（x，y），P（x₀，y₀），
由重心坐标公式得：

x= -2+2+x0 3 y= y0 3

，则

x0=3x y0=3y

，
代入圆C：（x+3）²+（y-4）²=9，得
（3x+3）²+（3y-4）²=9，即(x+1)2+(y-

4

3

)2=1；
（2）设已知圆的圆心为C，由已知可得：

OA

=(-2，0)，

OB

=(2，0)
∴

OA

+

OB

=0，

OA

•

OB

=-4，
又由中点公式得

PA

+

PB

=2

PO

，
∴|PA|²+|PB|²=|

PA

|2+|

PB

|2=(

PA

+

PB

)2-2

PA

•

PB

=(2

PO

)2-2(

OA

-

OP

)•(

OB

-

OP

)
=4|

PO

|2-2

OA

•

OB

-2|

OP

|2+2

OP

•(

OA

+

OB

)
=2|

OP

|2+8．
又∵

OC

=(3，4)，点P在圆（x-3）²+（y-4）²=4上，
∴|

OC

|=5，|

CP

|=2且

OP

=

OC

+

CP

，
∴|

OC

|-|

CP

|≤|

OP

|=|

OC

+

CP

|≤|

OC

|+|

CP

|，
即3≤|

OP

|≤7，
故26≤|

PA

|2+|

PB

|2=2|

OP

|2+8≤106．
∴|PA|²+|PB|²的最大值为106，最小值为26．

点评：本题考查了代入法求曲线的方程，考查了利用平面向量求解最值问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．