Question

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
④存在恰经过一个整点的直线．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义

分析：①举例说明该命题正确；
②举例说明该命题错误；
③通过理论说明该命题错误；
④举例说明该命题正确．

解答： 解：对于①，令y=x+

1

2

，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴①正确；
对于②，若k=

2

，b=-

2

，则直线y=

2

x-

2

经过（1，0），∴②错误；
对于③，设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把两点代入直线l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
两式相减得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，
又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立，∴③不正确；
对于④，令直线y=

2

x，则该直线恰过整点（0，0），∴④正确．
综上，命题正确的序号有：①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了新定义的命题的判断真假的问题，解题时应利用举例说明的方法，并能适当的证明，是较难的题目．