Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为

2

2

，且一个焦点坐标为（

2

，0）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得

c a = 2 2 c= 2 a2=b2+c2

，解得即可得出．
（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，由△＞0，化为2+4k²-m²＞0，设A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．可得x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

1 2 +k2

1+k2

即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．

解答： 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴

c a = 2 2 c= 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b²=2，
∴椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，
联立

y=kx+m x2+2y2=4

，化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，化为2+4k²-m²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
∴x₀=x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

．
∵点P在椭圆M上，∴

x 2 0

4

+

y 2 0

2

=1，
∴

4k2m2

(1+2k2)2

+

2m2

(1+2k2)2

=1，化为2m²=1+2k²，满足△＞0．
又点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

1 2 +k2

1+k2

=

1- 1 2(1+k2)

≥

1- 1 2

=

2

2

．当且仅当k=0时取等号．
当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，
∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．