Question

【题目】已知函数f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4.

（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程：

（2）若g（x）＝f（x）+k，求g（x）的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）x﹣y﹣4＝0（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

（1）求出原函数的导函数，再求得（2）与（2），利用直线方程点斜式求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）的零点个数，即与的交点个数，利用导数求函数的单调性与极值，作出图象，数形结合得答案．

（1）∵f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4，∴f′（x）＝3x2﹣8x+5，

∴f′（2）＝1，又f（2）＝﹣2，

∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（﹣2）＝x﹣2，

即x﹣y﹣4＝0；

（2）g（x）＝f（x）+k的零点个数，即y＝f（x）与y＝﹣k的交点个数，

由f′（x）＝0，可得x＝1或x，

当x∈（﹣∞，1）∪（）时，f′（x）＞0，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，1），（）上单调递增，在（1，）上单调递减，

∴f（x）极大值＝f（1）＝﹣2，.

如图所示，

∴﹣k∈（﹣∞，）∪（﹣2，+∞）时，有1个交点，﹣k∈（，﹣2）时，有3个交点，

﹣k或﹣k＝﹣2时，有2个交点.

综上所述，k∈（﹣∞，2）∪（，+∞）时，g（x）有1个零点，

k∈（2，）时，g（x）有3个零点，

k或2时，g（x）有2个零点.