Question

在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点  
(1)求直线A′C与DE所成的角；
(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角；
(3)求面B′EDF与面ABCD所成的角 

Answer 1

(1)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角 
在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角为arccos 
(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上（如图）又可证明四边形B′EDF为菱形（证明略），∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，
在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a，
则cosADB′=，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos 
(3)解 如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角 
在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,
则由面积关系得OM=a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin 
方法二（向量法）
（1） 如图建立坐标系，则


故A′C与DE所成角为arccos 
（2）∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，如图建立坐标系，则

，
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos 
(3)由(1)知，
所以面ABCD的法向量为  下面求面B′EDF的法向量 
设，由
取z=1，得 ∴.
故面B′EDF与面ABCD所成的角为 

求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强  用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.