Question

如图所示，四棱锥的底面是边长为１的正方形，，，点是棱的中点。
（１）求证；
（２）求异面直线与所成的角的大小；
（３）求面与面所成二面角的大小。
（第18题图）

Answer 1

见解析

解法一：
（1）因为，所以SC在底面的射影是CD
又因为底面ABCD是正方形，所以，所以…………4分
（2）取AB的中点P，连结MP，DP
在中，由中位线得 MP//SB ，所以
是异面直线DM与SB所成的角或其补角，
因为，又，
所以，因此
所以异面直线DM与SB所成的角为…………9分
（3）因为，底面ABCD是正方形，
所以可以把四棱锥补成长方体，
面与面所成二面角就是面与面所成二面角
因为，，所以
又，所以为所求的二面角的平面角
在中，由勾股定理得，在，得
所以，即面与面所成二面角为。. …………14分

解法二：以点D为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
因为ABCD是边长为1的正方形，且，
所以，，则，，
，，
因为，，则
所以，即…………4分
（2）设所求的异面直线所成的角为，因为
所以
故异面直线DM与SB所成的角为…………9分
（3）设所求二面角的平面角为，由题意可以面ASD的一个法向量为，设面BSC的一个法向量为，则
所以
而与所成的角就是所求的二面角的平面角或其补角，所以
所以面与面所成二面角为。…………14分