Question

（满分14分）在斜四棱柱中，已知底面是边长为4的菱形，，且点在面上的射影是底面对角线与AC的交点O，设点E是的中点，．
（Ⅰ） 求证：四边形是矩形；
（Ⅱ） 求二面角的大小；
  （Ⅲ） 求四面体的体积．

Answer 1

（I）略   （Ⅱ）    （Ⅲ）

解法一：（Ⅰ） 连接．
因为四边形为菱形，
所以,又面，[所以．
而，所以．因为四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．
（Ⅱ） 连接OE，因为,所以平面，∴ ,即为二面角
E──C的平面角．在菱形中， 
又E是的中点，．所以．
在△中，,∴ ，,
所以在△中，有，即二面角E─BD─C的大小为．      9分
（Ⅲ） 设点D到平面的距离为h，则有．
因为是的中点，所以14分
解法二：（Ⅰ） 连结AC、BD相交于O，连结．
由已知，有AC⊥BD，⊥面ABCD，故可建立空间直角坐标系，
且以下各点的坐标分别为：，  1分
设, ， 3分又, 四边形为平行四边形．是矩形． 4分
（Ⅱ） 设,则．
， 由 可求得
∴．设为平面EBD的法向量，
则由，得
可取 , ． 6分
平面平面BDC的法向量为，
而 ． 
∴ 二面角E─BD─C的大小为．    9分
（Ⅲ） 设为平面的法向量，
则由 ,得
∴ 可取，．
到平面的距离 ．    11分  
而，又由（Ⅰ）知， ，
．················ 14分