Question

已知函数k（x）=λlnx+

1

x

-1，f（x）=x-

1

x

，F（x）=k（x）+f（x）
（1）当λ=1时，求函数的k（x）极值；
（2）设F（x）=k（x）+f（x），若F（x）≥0恒成立，求实数λ的值；
（3）设T_n=e¹•e

1

2

•e

1

3

…e

1

n

．．求证：

Tn+1

e

＜n+1＜T_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知k（x）的定义域为（0，+∞），k′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，由此利用导数性质能求出k（x）的极值．
（2）F（x）=λlnx+x-1，F（1）=0，F′(x)=

λ+x

x

，由F（x）≥0恒成立，利用导数性质能求出λ=-1．
（3）当x≠1时，lnx＞1-

1

x

；x＞1时，lnx＜x-1．取x=

n+1

n

，得

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，再由

n

i=1

1

i+1

＜ln（n+1）＜

n

i=1

1

i

，能证明

Tn+1

e

＜n+1＜T_n．

解答： （1）解：∵函数k（x）=λlnx+

1

x

-1，
∴k（x）的定义域为（0，+∞）…．（1分）
∵λ=1，∴k′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

…．（3分）
当x＞1时，k′（x）＞0，当0＜x＜1时，k′（x）＜0，
∴x=1时，k（x）取得极小值，无极大值，
∴k（x）的极小值为k（1）=0．…..（5分）
（2）解：∵函数k（x）=λlnx+

1

x

-1，f（x）=x-

1

x

，F（x）=k（x）+f（x），
∴令F（x）=λlnx+x-1，F（1）=0，F′(x)=

λ+x

x

，
由F（x）≥0恒成立，则F（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；
即0＜x≤1时，F′（x）≤0恒成立，得λ≤-1
x≥1时，F′（x）≥0恒成立，得λ≥-1
综上，λ=-1…..（10分）
（3）证明：由（1）得，k（x）＞k（1）=0，即：当x≠1时，lnx＞1-

1

x

由（2）得，x＞1时，F（x）＞F（1）=0，即：lnx＜x-1
取x=

n+1

n

，得：ln

n+1

n

＞1-

n

n+1

=

1

n+1

，ln

n+1

n

＜

n+1

n

-1=

1

n

即得：

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

（n∈N⁺）…（12分）
又∵ln(n+1)=ln(

n+1

n

.

n

n-1

…

3

2

.

2

1

)
=ln

n+1

n

+ln

n

n-1

+…+ln

3

2

+ln

2

1

∴

n

i=1

1

i+1

＜ln（n+1）＜

n

i=1

1

i

即e

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

＜n+1＜e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴

Tn+1

e

＜n+1＜T_n，n∈N⁺…（14分）

点评：本题考查函数的极值的求法，考查实数的值的求法，考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、数列与不等式性质的合理运用．