Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+

x2

2

-

x3

3

，数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

n

ln（1+

1

n

）+

1

2n3

-

1

3n4

．
（I）求函数f（x）的最值；
（II）若数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得x＞-1，f′(x)=

1

1+x

-1+x-x2=-

x3

1+x

，由此利用导数性质能求出f（x）的最值．
（Ⅱ）由a_n=

1

n

ln（1+

1

n

）+

1

2n3

-

1

3n4

=

1

n

[ln(1+

1

n

)-

1

n

+

1

2n2

-

1

3n3

]+

1

n2

，得a_n＜

1

n2

，由此利用放缩法和裂项求和法能证明S_n＜2．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ln（1+x）-x+

x2

2

-

x3

3

，
∴x＞-1，f′(x)=

1

1+x

-1+x-x2=-

x3

1+x

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；
当x＞0时，f′（x）＜0．
∴x=0时，f（x）取最大值f（0）=0．
（Ⅱ）证明：a_n=

1

n

ln（1+

1

n

）+

1

2n3

-

1

3n4

=

1

n

[ln(1+

1

n

)-

1

n

+

1

2n2

-

1

3n3

]+

1

n2

，（0＜

1

n

≤1），
由（Ⅰ）得

1

n

[ln(1+

1

n

)-

1

n

+

1

2n2

-

1

3n3

]＜0，
∴a_n＜

1

n2

，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

n(n-1)

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1+1-

1

n

=2-

1

n

＜2．
∴S_n＜2．

点评：本题考查函数的最值的求法，考查数列的前n项和小于的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．