Question

11．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm²）之间的关系，将测量得到的声音强度D_i和声音能量I_i（i=1，2…，10）数据作了初步处理，得到如表的散点图及一些统计量的值．

$\overline{I}$	$\overline{D}$	$\overline{W}$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{I}_{i}-\overline{I}）^{2}$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{W}_{i}-\overline{W}）^{2}$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{I}_{i}-\overline{I}）（{D}_{i}-\overline{D}）$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{W}_{i}-\overline{W}）（{D}_{i}-\overline{D}）$
1.04×10-11	45.7	-11.5	1.56×10-21	0.51	6.88×10-11	5.1

表中W_i=lgI_i，$\overline{W}$=$\frac{1}{10}\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}{W}_{i}$．
（Ⅰ）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；
（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I₁和I₂，且$\frac{1}{{I}_{1}}$+$\frac{4}{{I}_{2}}$=10¹⁰，已知点P的声音能量等于声音能量I₁与I₂之和，请根据（Ⅰ）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据（μ₁，v₁），（μ₂，v₂），…，（μ_n，v_n），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}-\widehat{β}\overline{μ}$．

Answer 1

分析 （I）利用回归系数公式先求出D关于w的回归方程，再转化为D关于I的回归方程；
（Ⅱ）利用对数的运算性质和基本不等式求出I的最小值，计算$\stackrel{∧}{D}$的最小值．

解答 解：（I）$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}（{w}_{i}-\overline{w}）（{D}_{i}-\overline{D}）}{\sum_{i=1}^{10}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}}$=$\frac{5.1}{0.51}=10$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{D}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{w}$=45.7-10×（-11.5）=160.7．
∴D关于w的线性回归方程为$\stackrel{∧}{D}$=10w+160.7，
∴D关于I的回归方程为$\stackrel{∧}{D}$=10lgI+160.7．
（II）∵$\frac{1}{{I}_{1}}$+$\frac{4}{{I}_{2}}$=10¹⁰，
∴I=I₁+I₂=10^-10（$\frac{1}{{I}_{1}}+\frac{4}{{I}_{2}}$）（I₁+I₂）=10^-10（5+$\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}}$+$\frac{4{I}_{1}}{{I}_{2}}$）≥9×10^-10．
∴$\stackrel{∧}{D}$=10lg（9×10^-10）+160.7=10lg9+60.7≥60．
∴点P会受到噪声污染的干扰．

点评 本题考查了回归方程的求解，对数的运算性质及回归方程应用．