Question

2．在各项均为正数的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₄+2是a₄-1和a₉+3的等比中项，数列{b_n}满足b_n=λⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ≠0）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）对λ分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设各项均为正数的等差数列{a_n}的公差为d＞0，∵a₁=1，a₄+2是a₄-1和a₉+3的等比中项，
∴$（{a}_{4}+2）^{2}$=（a₄-1）（a₉+3），
∴（3+3d）²=3d×（4+8d），
解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）数列{b_n}满足b_n=λⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$=λⁿ•2ⁿ=（2λ）ⁿ．
$λ=\frac{1}{2}$时，b_n=1，数列{b_n}的前n项和S_n=n．
$λ≠\frac{1}{2}$，0时，数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2λ[（2λ）^{n}-1]}{2λ-1}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，λ=\frac{1}{2}}\\{\frac{2λ[（2λ）^{n}-1]}{2λ-1}，λ≠\frac{1}{2}，0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．