Question

1．已知函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），且对于任意的x∈（1，2]，f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f（$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$）＞0恒成立，则m的取值范围是m＜0．

Answer 1

分析 根据条件可判断函数为奇函数，不等式可整理为m＜（x²-1）（6-x）恒成立，利用构造函数h（x）=（x²-1）（6-x），通过求导函数判断函数的单调性，得出函数的最小值．

解答 解：$f（x）=lg（x+\sqrt{{x^2}+1}）$的定义域为R，且f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数，显然在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴函数在R上也为递增函数，
∵f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f（$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$）＞0，即f（$\frac{x+1}{x-1}$）＞-f（$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$），
∴f（$\frac{x+1}{x-1}$）＞f（-$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$），
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞-$\frac{m}{（x-1）^{2}（6-x）}$，
∴m＞（x²-1）（x-6）恒成立，
设h（x）=（x²-1）（x-6），h'（x）=3x²-12x-1=3（x-2）²-13，
∴h'（x）＜0，函数递减，函数的最大值为h（1）=0，
∴m＞0．
故答案为m＞0．

点评 考查了奇函数的判断和恒成立问题的转化．