Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

an•an+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）讨论（2）中T_n的最值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式an=

s1 n=1 sn-sn-1 n≥2

可求出数列{a_n}的通项a_n．
（2）n≥2时，c_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项相消法求和；
（3）利用（2）的结论，即可得出T_n的最值．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+1
∴a₁=S₁=1+1=2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+1）-[（n-1）²+1]=2n-1，
当n=1时，2n-1=1≠a₁，
∴an=

2 n=1 2n-1 n≥2

．
（2）n≥2时，c_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴当n=1时，T_n=c₁=

1

a1a2

=

1

2×3

=

1

6

，
当n≥2时，T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

2n+1

）=

1

3

-

1

4n+2

，
∴T_n=

1 6 n=1 1 3 - 1 4n+2 n≥2

．
（3）由（2）T_n的最小值为

1

6

，无最大值．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查利用公式法求数列的通项公式及利用裂项相消法求数列的和知识，解题时要注意公式的灵活运用．