题目内容
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥平面PAB；
（2）设二面角A-PB-C的大小为θ，求cosθ的值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）由线面垂直，得PA⊥CM，由正三角形性质，得CM⊥AB，由此能证明CM⊥平面PAB．
（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．
（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．
解答：
（本题15分）
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABC，
所以PA⊥CM．┅（3分）
因为△ABC是正三角形，
M是AB的中点，所以CM⊥AB．┅（6分）
所以，CM⊥平面PAB．┅（7分）
（Ⅱ）解：以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图．
=(0，0，3)，
=（2
，2，0）．
设
=（x，y，z）是平面APC的法向量，
则
，取x=1，得
=（1，-
，0）．┅（10分）
=(0，-4，3)，
=(2
，-2，0)．
设
=(a，b，c)是平面BPC的法向量，
则
，取a=
，得
=(
，3，4)．┅（13分）
故cosθ=|cos＜
，
＞|=
=
．┅（15分）
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABC，
所以PA⊥CM．┅（3分）
因为△ABC是正三角形，
M是AB的中点，所以CM⊥AB．┅（6分）
所以，CM⊥平面PAB．┅（7分）
（Ⅱ）解：以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图．
| AP |
| AC |
| 3 |
设
| n |
则
|
| n |
| 3 |
| BP |
| BC |
| 3 |
设
| m |
则
|
| 3 |
| m |
| 3 |
故cosθ=|cos＜
| m |
| n |
2
| ||
2×2
|
| ||
| 14 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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