Question

如图，角θ的始边OA落在ox轴上，其始边、终边与单位圆分别交于点A、C、θ∈（0，），外△AOB为等边三角形．
（Ⅰ）若点C的坐标为（）．求cos∠BOC；
（Ⅱ）记f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得cos∠COA=，sin∠COA=，∠AOB=，由cos∠BOC=cos（∠COA+）
=cos∠COA cos-sin∠COA sin，运算求得结果．
（Ⅱ）先求出点B的坐标为（，-），点C的坐标为（cosθ，sinθ），利用两点间的距离公式化简f （θ）
为 2+2sin（θ-），再根据正弦函数的定义域和值域求出 函数f（θ）的值域．
解答：解：（Ⅰ）若点C的坐标为（），∴cos∠COA=，sin∠COA=．
再由△AOB为等边三角形可得∠AOB=，
∴cos∠BOC=cos（∠COA+）=cos∠COA cos-sin∠COA sin
=．
（Ⅱ）记f （θ）=|BC|²，由于△AOB为等边三角形，故点B的坐标为
（，-）．
再由θ∈（0，），点C的坐标为（cosθ，sinθ）可得，
f （θ）=|BC|² ==2-cosθ+sinθ
=2+2sin（θ-）．
由于-＜θ-＜，∴-＜sin（θ-）＜，∴1＜2+2sin（θ-） ，
故函数f（θ）的值域为（1，）．
点评：本题主要考查余弦定理，正弦函数的定义域和值域，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．