Question

如图，角θ的始边OA落在ox轴上，其始边、终边与单位圆分别交于点A、C、θ∈（0，

π

2

），外△AOB为等边三角形．
（Ⅰ）若点C的坐标为（

3

5

，

4

5

）．求cos∠BOC；
（Ⅱ）记f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得cos∠COA=

3

5

，sin∠COA=

4

5

，∠AOB=

π

3

，由cos∠BOC=cos（∠COA+

π

3

）
=cos∠COA cos

π

3

-sin∠COA sin

π

3

，运算求得结果．
（Ⅱ）先求出点B的坐标为（

1

2

，-

3

2

），点C的坐标为（cosθ，sinθ），利用两点间的距离公式化简f （θ）
为 2+2sin（θ-

π

6

），再根据正弦函数的定义域和值域求出 函数f（θ）的值域．

解答：解：（Ⅰ）若点C的坐标为（

3

5

，

4

5

），∴cos∠COA=

3

5

，sin∠COA=

4

5

．
再由△AOB为等边三角形可得∠AOB=

π

3

，
∴cos∠BOC=cos（∠COA+

π

3

）=cos∠COA cos

π

3

-sin∠COA sin

π

3

=

3-4 3

10

．
（Ⅱ）记f （θ）=|BC|²，由于△AOB为等边三角形，故点B的坐标为
（

1

2

，-

3

2

）．
再由θ∈（0，

π

2

），点C的坐标为（cosθ，sinθ）可得，
f （θ）=|BC|² =(cosθ-

1

2

)2+(sinθ+

3

2

)2=2-cosθ+

3

sinθ
=2+2sin（θ-

π

6

）．
由于-

π

6

＜θ-

π

6

＜

π

3

，∴-

1

2

＜sin（θ-

π

6

）＜

3

2

，∴1＜2+2sin（θ-

π

6

） ＜2+

3

，
故函数f（θ）的值域为（1，2+

3

）．

点评：本题主要考查余弦定理，正弦函数的定义域和值域，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．