Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是参数）．
（Ⅰ） 若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=

14

，试求实数m值．
（Ⅱ） 设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，可得x²+y²-4x=0．把

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是参数）代入方程上述方程可得根与系数的关系，利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出；
（II）曲线C的方程可化为（x-2）²+y²=4，其参数方程为

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），设M（x，y）为曲线C上任意一点，x+y=2+2

2

sin(θ+

π

4

)，利用正弦函数的值域即可得出．

解答： 解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²-4x=0．
把

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是参数）代入方程上述方程可得：t2+

2

(m-2)t+m2-4m=0，
∴t₁+t₂=-

2

（m-2），t₁t₂=m²-4m．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2(m-2)2-4(m2-4m)

=

14

，解得m=1或3．
（II）曲线C的方程可化为（x-2）²+y²=4，其参数方程为

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
设M（x，y）为曲线C上任意一点，x+y=2+2

2

sin(θ+

π

4

)，
∵sin(θ+

π

4

)∈[-1，1]，
∴x+y的取值范围是[2-2

2

，2+2

2

]．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数的应用、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．