题目内容
10．设函数f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$，且$\frac{1}{9}$≤x≤9．（1）求f（3）的值；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．
分析 （1）直接利用函数的解析式，通过对数运算法则求解函数值即可．
（2）利用换元法，结合x的范围，求出换元的范围，利用二次函数的最值求解函数的最值以及与之对应的x的值．
解答 解：（1）函数f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$，且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
f（3）=log323+3log33+2=1+3+2=6．
（2）令t=log3x，f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$=t2+3t+2，又$\frac{1}{9}$≤x≤9，-2≤log3x≤2，
∴-2≤t≤2，令g（t）=t2+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]，
当t=$-\frac{3}{2}$时，g（t）min=-$\frac{1}{4}$，即log3x=-$\frac{3}{2}$，可得x=${3}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴f（x）min=-$\frac{1}{4}$，此时x=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
当t=2时，g（t）max=g（2）=12，即log3x=2，可得x=9，
∴f（x）max=12，此时x=9．
点评 本题考查函数值的求法，二次函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．
练习册系列答案
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| A． | 在纵坐标不变时，横坐标伸长到原来的2倍 | |
| B． | 在纵坐标不变时，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍 | |
| C． | 在横坐标不变时，纵坐标伸长到原来的2倍 | |
| D． | 在横坐标不变时，纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍 |
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| A． | （$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$） | B． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$） | C． | （$\frac{π}{2}$，π） | D． | （$\frac{2π}{3}$，π） |