Question

已知函数f（x）=2ax-ln2x，其中a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在点（

1

2

，f（

1

2

））处切线方程，并判断切线与f（x）的交点个数，
（2）若f（x）存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，化简f（x）=2x-ln2x并求导f′（x）=2-

1

x

；从而求切线方程，作图判断交点的个数；
（2）f（x）存在零点可化为y=2ax与y=ln2x有交点，作函数y=2ax与y=ln2x的图象，结合图象求解．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=2x-ln2x，
f′（x）=2-

1

x

；
故f′（

1

2

）=2-2=0，f（

1

2

）=1；
故切线方程为y-1=0；
则切线与f（x）的交点个数即方程2x-ln2x=1的解的个数，
即函数y=ln2x与y=2x-1的交点的个数，
作函数y=ln2x与y=2x-1的图象如下，

故切线与f（x）的交点个数为1；
（2）f（x）存在零点可化为y=2ax与y=ln2x有交点，
作函数y=2ax与y=ln2x的图象如下，

当直线y=2ax与y=ln2x相切时，
设切点为（x，ln2x），则

ln2x

x

=

1

x

；
故2x=e；
故

1

x

=

2

e

=2a；
故a=

1

e

；
结合函数图象知，a≤

1

e

．

点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的数学思想应用，属于中档题．