Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．
（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．
又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴，
∴BC²=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．
分析：（I）由同圆中等圆弧的性质可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出证明．
（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性质可得，即可求出BC．
点评：熟练掌握同圆中等圆弧的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．