Question

选修4-1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

Answer 1

分析：由切割线定理，得MA²=MB•MC，再根据M为PA的中点，将MA换成MP，得到比例线段：

MP

MB

=

MC

MP

，所以△PMB∽△CMP，从而∠BPM=∠PCM，最后在△CMP中利用内角和为180°列式，可得∠MPB的大小为20°．

解答：解：∵直线PA切圆O于点A
∴MA²=MB•MC
又∵M为PA的中点，
∴MP²=MA²=MB•MC，可得

MP

MB

=

MC

MP

∵∠PMB=∠CMP
∴△PMB∽△CMP，可得∠BPM=∠PCM
设∠BPM=∠PCM=α，则△CMP中，结合∠CMP=100°，∠BPC=40°，
得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+（40°+α）=180°
解之得，α=20°
∴∠MPB的大小为20°．

点评：本题给出圆的切线和割线，在已知两个角的度数情况下求未知角的度数，着重考查了三角形的相似、切割线定理和三角形内角和定理等知识，属于基础题．