题目内容
选修4-1:几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
分析:由切割线定理,得MA2=MB•MC,再根据M为PA的中点,将MA换成MP,得到比例线段:
=
,所以△PMB∽△CMP,从而∠BPM=∠PCM,最后在△CMP中利用内角和为180°列式,可得∠MPB的大小为20°.
MP |
MB |
MC |
MP |
解答:解:∵直线PA切圆O于点A
∴MA2=MB•MC
又∵M为PA的中点,
∴MP2=MA2=MB•MC,可得
=
∵∠PMB=∠CMP
∴△PMB∽△CMP,可得∠BPM=∠PCM
设∠BPM=∠PCM=α,则△CMP中,结合∠CMP=100°,∠BPC=40°,
得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+(40°+α)=180°
解之得,α=20°
∴∠MPB的大小为20°.
∴MA2=MB•MC
又∵M为PA的中点,
∴MP2=MA2=MB•MC,可得
MP |
MB |
MC |
MP |
∵∠PMB=∠CMP
∴△PMB∽△CMP,可得∠BPM=∠PCM
设∠BPM=∠PCM=α,则△CMP中,结合∠CMP=100°,∠BPC=40°,
得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+(40°+α)=180°
解之得,α=20°
∴∠MPB的大小为20°.
点评:本题给出圆的切线和割线,在已知两个角的度数情况下求未知角的度数,着重考查了三角形的相似、切割线定理和三角形内角和定理等知识,属于基础题.
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