Question

（2013•南京二模）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：AE²=EF•BE．

Answer 1

分析：等腰△ACD中得∠CAD=∠D，结合圆周角定理证出∠EBC=∠D．等腰△ABC中得到∠ABC=∠ACB，利用△ACD的外角得到∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D，从而∠ABC=2∠EBC，所以∠ABE=∠EBC=∠FAE．由∠AEB=∠FEA为两个三角形的公共角，证出△AEB∽△FEA，得到

AE

FE

=

EB

EA

，即得AE²=EF•BE．

解答：解：∵△ACD中，CD=AC，∴∠CAD=∠D
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D
∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∵∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D
∴∠ABC=2∠D=2∠EBC，从而∠ABE=∠EBC=∠FAE
又∵∠AEB=∠FEA，∴△AEB∽△FEA
由此可得

AE

FE

=

EB

EA

，即AE²=EF•BE．

点评：本题着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角定理和相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．