Question

设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面积S的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式中变形得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a与cosA的值代入，利用基本不等式求出bc的范围，再利用面积公式即可求出S的范围．

解答： 解：（1）将cosC=

a2+b2-c2

2ab

代入已知等式得：a•

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b，
整理得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

3

；
（2）∵a=1，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即1+bc=b²+c²，
∵b²+c²≥2bc，即1+bc≥2bc，
∴0＜bc≤1，
∴0＜

1

2

bcsinA≤

3

4

，
则S的取值范围为（0，

3

4

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．