Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

6

）-

1

2

sin2x，g（x）=sinxcosx．
（1）若α∈（0，

π

2

），且f（

α

2

）=

3 3

10

，求f（x）的最小正周期和g（α）的值；
（2）求函数y=g（x）-f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得解析式f（x）=

3

2

cos2x，g（x）=

1

2

sin2x．由f（

α

2

）=

3

2

cosα=

3 3

10

，α∈（0，

π

2

），可求得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，从而可求f（x）的最小正周期和g（α）的值；
（2）化简可得解析式y=g（x）-f（x）=sin（2x-

π

3

），令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函数y=g（x）-f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

6

）-

1

2

sin2x=

3

2

cos2x，g（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
∵f（

α

2

）=

3

2

cosα=

3 3

10

，α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

3

5

．sinα=

1-cos2α

=

4

5

．
∴g（α）=

1

2

sin2α=sinαcosα=

3

5

×

4

5

=

12

25

．
（2）∵y=g（x）-f（x）=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

）．
∴令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z．
∴函数y=g（x）-f（x）的单调递增区间是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．