Question

8．正△ABC两边AB，AC的中点分别为M，N，直线MN与△ABC外接圆的一个交点为P．
①若正△ABC的边长为a，求△PBC的面积；
②求$\frac{PB}{PC}$+$\frac{PC}{PB}$的值．

Answer 1

分析 ①设点P到BC的距离为h，则h=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$，即可△PBC的面积S．
②利用三角形面积计算公式可得：S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$BC²=$\frac{1}{2}$PB•PC•sin60°，再利用余弦定理可得：BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos60°，联立化简整理即可得出．

解答 解：①设点P到BC的距离为h，则h=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．
∴△PBC的面积S=$\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{4}$a=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$．
②S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$BC²=$\frac{1}{2}$PB•PC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PB•PC，∴BC²=2PB•PC，
又BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos60°=PB²+PC²-PB•PC，
∴2PB•PC=PB²+PC²-PB•PC，
∴PB²+PC²=3PB•PC，
∴$\frac{PB}{PC}$+$\frac{PC}{PB}$=3．

点评 本题考查了圆的性质、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．