Question

20．已知函数f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有两个零点，则k的取值范围k＜0或0＜k＜1．

Answer 1

分析 若函数f（x）有2个不同的零点，则$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0 ①有2个不同的实数根．再分（1）当x=0时、（2）x≠0时2种情况，分别求出方程的根，综合可得方程①有2个不相等的实数根的条件．

解答 解：若函数f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有两个零点，
则$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²=0 ①有两个不同的实数根．
（1）当x=0时，不论k取何值，方程①恒成立，即x=0恒为方程①的一个实数解．
（2）故只需x≠0，函数f（x）=$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²（k∈R）有1个零点
?$\frac{\left|x\right|}{x+2}$-kx²=0 有1个不同的实数根
?$\frac{1}{x+2}$=k|x|有1个异根，
?函数y=$\frac{1}{x+2}$与y=k|x|有1个交点，
如图示：
，
k＞0时，由$\frac{1}{x+2}$=-kx得：kx²+2kx+1=0，
△=4k²-4k=0，解得：k=1，
结合图象，k＜0或0＜k＜1，
故答案为：k＜0或0＜k＜1．

点评 本题主要考查函数零点和方程的根的关系，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．