Question

16．已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记∠PAB=θ．
（1）若BC=$\sqrt{2}$，求四边形PBCQ的面积的最大值；
（2）若BC=1，求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据条件可得到$∠BAC=\frac{π}{2}$，进而得出$∠CAQ=\frac{π}{2}-θ$，由三角形面积公式即可求出${S}_{四边形PBCQ}=\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}$，由两角和的正弦公式即可得到${S}_{四边形PBCQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，从而求出四边形PBCQ的面积的最大值；
（2）由条件可得到$∠BAC=\frac{π}{3}，∠PAC=\frac{π}{3}+θ$，而$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$，代入$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$进行数量积的运算，然后化简即可得出$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=sin（θ+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，从而得出该数量积的最大值．

解答 解：（1）∵$AB=AC=1，BC=\sqrt{2}$，∴∠BAC=$\frac{π}{2}$；
由∠PAB=θ得∠CAQ=$\frac{π}{2}-θ$；
∴S_{四边形PBCQ}=S_△PAB+S_△ABC+S_△CAQ
=$\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}-θ）$
=$\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，∴当$θ=\frac{π}{4}$时，S_{四边形PBCQ}取得最大值$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$；
（2）当BC=1时，∠BAC=$\frac{π}{3}$，∠PAC=$\frac{π}{3}+θ$；
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=-1$-cos（\frac{π}{3}+θ）+cosθ+\frac{1}{2}$
=$-\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ+cosθ-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ-\frac{1}{2}$
=$sin（{θ+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}$；
∵$0＜θ＜\frac{2π}{3}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取得最大值$\frac{1}{2}$．

点评 考查三角形的面积公式，两角和的正余弦公式，三角函数的诱导公式，以及正弦函数的最值．