Question

19．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，a、b∈R⁺，A=f（$\frac{a+b}{2}$），B=f（$\sqrt{ab}$），C=f（$\frac{ab}{a+b}$），则A、B、C的大小关系是（　　）

• A． A≤B≤C
• B． A≤C≤B
• C． B≤C≤A
• D． C≤B≤A

Answer 1

分析 由不等式可证$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$，结合指数函数的单调性可得．

解答 解：∵a、b∈R⁺，∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，$\frac{ab}{a+b}$≤$\frac{ab}{2\sqrt{ab}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{2}$≤$\sqrt{ab}$，
又f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x为R上的单调递减函数，
∴f（$\frac{a+b}{2}$）≤f（$\sqrt{ab}$）≤f（$\frac{ab}{a+b}$），即A≤B≤C
故选：A

点评 本题考查基本不等式证明式子大小，涉及指数函数的单调性，属基础题．