Question

9．已知函数$f（x）=sinxcos2φ+cosxsin2φ（x∈R，0＜φ＜\frac{π}{2}），f（\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若$f（α+\frac{2π}{3}）=-\frac{12}{13}，α∈（\frac{π}{2}，π）$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式为f（x）=sin（x+2φ），根据f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据f（α+$\frac{2π}{3}$）=-sinα=-$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），可得sinα=$\frac{12}{13}$，从而求得cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$ 的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sinxcos2φ+cosxsin2φ=sin（x+2φ），
满足f（$\frac{π}{2}$）=sin（$\frac{π}{2}$+2φ）=cos2φ=$\frac{1}{2}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴2φ=$\frac{π}{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若$f（α+\frac{2π}{3}）=-\frac{12}{13}，α∈（\frac{π}{2}，π）$，则f（α+$\frac{2π}{3}$）=sin（α+$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=-sinα=-$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴可得sinα=$\frac{12}{13}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{5}{13}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．