Question

9．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为1，C₁B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2，如果平面BD₁C₁与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）．

Answer 1

分析 以D为原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BD₁C₁与底面ABCD所成的二面角的大小．

解答 解：∵在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面ABCD，
∴BC是BC₁在平面ABCD上的射影，
∴∠C₁BC是直线C₁B与底面ABCD所成的角，
∵C₁B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2，∴∠C₁BC=arctan2，
在Rt△C₁BC中，C₁C=BC•tan∠B₁BC=2，
以D为原点，DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图，
∵D₁D⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=$\overrightarrow{m}$=（0，0，2）是平面ABCD的一个法向量，
B（1，1，0），D₁（0，0，1），C₁（0，1，2），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，2），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BD₁C₁的一个法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=x-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
设平面BD₁C₁与底面ABCD所成的二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．