Question

7．已知函数f（x）=x²+2mx+3m+4，
（1）若f（x）在（-∞，1]上单调递减，求m的取值范围；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的对称轴是x=-m，f（x）在（-∞，1]上单调递减，得-m≥1，由此能求出m的取值范围．
（2）由f（x）的对称轴为x=-m，根据m≤-1和m＞-1两种情况分类讨论能求出f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+2mx+3m+4，
∴f（x）的对称轴是x=-m，
又∵f（x）在（-∞，1]上单调递减，
∴-m≥1，解得m≤-1，
∴m的取值范围是（-∞，-1]．…（4分）
（2）f（x）的对称轴为x=-m
当-m≥1，即m≤-1时，
f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（0）=3m+4，
当-m＜1，即m＞-1时，
f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（2）=7m+8，
∴$g（m）=\left\{\begin{array}{l}3m+4（m≤-1）\\ 7m+8（m＞-1）\end{array}\right.$．…（12分）

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数在闭区间上的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．