Question

已知圆C：x²+y²-4x-6y+4=0
（1）过点A（-1，-1）作圆C的切线l₁，求切线l₁的方程；
（2）不论实数m为何值，证明直线l₂：mx-y-3m+2=0与圆C总相交；
（3）若直线l₂：被圆C截得的弦为AB，求AB的最小值．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据题意，可得圆心为（2，3），半径r=3．设切线l₁的斜率为k，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k=

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．再根据直线l₁过点A且斜率不存在时也与圆C相切，可得满足条件的切线l₁的方程．
（2）化简直线l₂得：m（x-3）-（y-2）=0，可知直线l₂经过定点P（3，2），而点P恰好是圆C内部的一个定点，由此可得不论实数m为何值，直线l₂与圆C总相交；
（3）根据圆的性质，可知当圆心C与P的连线与直线l₂互相垂直时，直线l₂被圆C截得的弦AB有最小值．由此利用两点的距离公式与垂径定理，即可求出AB的最小值．

解答： 解：（1）将圆C化成标准方程，得（x-2）²+（y-3）²=9，
∴圆心为C（2，3），半径r=3．
设过点A（-1，-1）的圆C的切线l₁方程为y+1=k（x+1），
即kx-y+k-1=0，
则点C到直线l₁的距离等于半径，
即

|2k-3+k-1|

k2+1

=3，
解之得k=

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，直线l₁的方程为y+1=

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（x+1），
即y=

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x-

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．
又∵当经过点A的直线斜率不存在时，
直线x=-1到点C的距离也等于半径，此时直线与圆C也相切．
∴经过点A（-1，-1）并且与圆C相切的直线l₁的方程为y=

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x-

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或x=-1；
（2）化简直线l₂：mx-y-3m+2=0，得m（x-3）-（y-2）=0，
∴直线l₂经过直线x-3=0与直线y-2=0的交点P（3，2），
∵点P（3，2）满足3-2）²+（2-3）²＜9，∴点P（3，2）是圆C内部一点．
由于直线l₂经过圆C内部的定点P（3，2），所以不论实数m为何值，直线l₂与圆C总相交；
（3）由（2）知直线l₂经过圆C内部的点P（3，2），
∴由圆的性质，当直线l₂与CP互相垂直时，l₂被圆C截得的弦AB有最小值．
∵|PC|=

(3-2)2+(2-3)2

=

2

，
∴根据垂径定理，得|AB|=2

r2-|PC|2

=2

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，
即直线l₂被圆C截得的弦AB长的最小值为2

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．

点评：本题已知圆C的方程，求圆C经过定点的切线方程，并求直线被圆截得弦长的最小值．着重考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、点到直线的距离公式和圆的有关性质等知识，属于中档题．