Question

2．已知函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）对f（x）进行求导，f′（x）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x≤e时，令f'（x）＞0得：$\frac{1}{e}$≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．