Question

5．对于实数x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）=$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}$+$\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$．
（1）若f（x）≥t恒成立，求t的最大值M；
（2）在（1）的条件下，求不等式x²+|x-2|+M≥3的解集．

Answer 1

分析 （1）利用“1”的代换，结合基本不等式，求出t的最大值M；
（2）在（1）的条件下，不等式x²+|x-2|+M≥3，即不等式x²+|x-2|-2≥0，分类讨论，可得解．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}$+$\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$=（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}$+$\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}$）=$\frac{5}{9}$+$\frac{4si{n}^{2}x}{9co{s}^{2}x}$+$\frac{co{s}^{2}x}{9si{n}^{2}x}$≥1，
当且仅当$\frac{4si{n}^{2}x}{9co{s}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x}{9si{n}^{2}x}$时取等号．
∵f（x）≥t恒成立，
∴t≤1，
∴t的最大值M=1；
（2）不等式x²+|x-2|+M≥3，即不等式x²+|x-2|-2≥0．
x≥2时，x²+x-4≥0，∴x≥2；
x＜2时，x²-x≥0，∴x≤0或1≤x＜2；
综上所述x≤0或x≥1，
∴不等式x²+|x-2|+M≥3的解集为{x|x≤0或x≥1}．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．