Question

20．设F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过右焦点的直线l与椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）交于A，B两点，与y轴交于M点，且满足$\overrightarrow{A{F_2}}$=3$\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{A{F_2}}$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，得到A的横坐标，代入椭圆方程求得A的纵坐标，结合$\overrightarrow{A{F_2}}$=3$\overrightarrow{{F_2}B}$求得B的坐标，代入椭圆方程整理得答案．

解答 解：如图，
∵$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{A{F_2}}$，∴A为MF₂的中点，则${x}_{A}=\frac{c}{2}$，
代入$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{{y}_{A}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得${{y}_{A}}^{2}=\frac{{b}^{2}（3{a}^{2}+{b}^{2}）}{4{a}^{2}}$，∴${y}_{A}=-\frac{b}{2a}\sqrt{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
设B（x_B，y_B），则$\overrightarrow{A{F}_{2}}=（\frac{c}{2}，\frac{b}{2a}\sqrt{3{a}^{2}+{b}^{2}}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}B}=（{x}_{B}-c，{y}_{B}）$，
由$\overrightarrow{A{F_2}}$=3$\overrightarrow{{F_2}B}$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{2}=3{x}_{B}-3c}\\{\frac{b}{2a}\sqrt{3{a}^{2}+{b}^{2}}=3{y}_{B}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}=\frac{7c}{6}}\\{{y}_{B}=\frac{b}{6a}\sqrt{3{a}^{2}+{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
代入椭圆方程可得：$\frac{49{c}^{2}}{36{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}（3{a}^{2}+{b}^{2}）}{36{a}^{2}{b}^{2}}=1$，整理得：3c²=2a²，即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．