Question

10．如图所示，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂、F₁、F₂分别是其左右顶点，上下顶点和左右焦点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积是四边形B₁F₂B₂F₁面积的2倍．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）三角形B₁B₂A₂的外接圆记为⊙M，若直线B₁F₂被⊙M截得的弦长为$\frac{13}{4}$，求⊙M的方程．

Answer 1

分析 （1）利用四边形A₁B₁A₂B₂的面积是四边形B₁F₂B₂F₁面积的2倍，建立方程，即可求椭圆C的离心率；
（2）设M（m，0），则（a-m）²=m²+b²，m=$\frac{1}{8}$a=$\frac{1}{4}$c，r=$\frac{7}{8}$a=$\frac{7}{4}$c，直线B₁F₂的方程为$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，即bx-cy-bc=0，$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$c=0，利用勾股定理，求出c．即可求⊙M的方程．

解答 解：（1）∵四边形A₁B₁A₂B₂的面积是四边形B₁F₂B₂F₁面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×2a×b×2=2×$\frac{1}{2}$×2c×b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）设M（m，0），则（a-m）²=m²+b²，
∴m=$\frac{1}{8}$a=$\frac{1}{4}$c，r=$\frac{7}{8}$a=$\frac{7}{4}$c，
直线B₁F₂的方程为$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，即bx-cy-bc=0，
∵b=$\sqrt{3}$c，
∴$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$c=0
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{4}c-\sqrt{3}c|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$c，
∵直线B₁F₂被⊙M截得的弦长为$\frac{13}{4}$，
∴（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$c）²+（$\frac{13}{8}$）²=（$\frac{7}{4}$c）²，
∴c=$\frac{1}{2}$，
∴m=$\frac{1}{8}$，r=$\frac{7}{8}$，
∴⊙M的方程（x-$\frac{1}{8}$）²+y²=$\frac{49}{64}$．

点评 本题考查椭圆的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．