Question

15．如图所示，在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，点B（0，-b）是椭圆C的下顶点，BF₁的延长线交椭圆C于点A，点D和点A关于x轴对称．
（1）若BF₁=2，点D（-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{1}{7}$），求椭圆的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{D{F}_{2}}$•$\overrightarrow{BA}$=0，求椭圆C的离心率e．

Answer 1

分析 （1）由|BF₁|=2，点D（-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{1}{7}$）在椭圆上，可得a=2，$\frac{192}{49{a}^{2}}$+$\frac{1}{49{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解得即可得出；
（2）直线BA的方程为：y=-$\frac{b}{c}$x-b，与椭圆方程联立化为：（c²+a²）x²+2a²cx=0，解得A坐标，可得D坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答 解：（1）∵|BF₁|=2，点D（-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{1}{7}$）在椭圆上，
∴a=2，$\frac{192}{49{a}^{2}}$+$\frac{1}{49{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的标准方程；
为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）直线BA的方程为：y=-$\frac{b}{c}$x-b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{c}x-b}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（c²+a²）x²+2a²cx=0，
解得x_A=$\frac{-2{a}^{2}c}{{c}^{2}+{a}^{2}}$，y_A=$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}$．
∴$D（\frac{-2{a}^{2}c}{{c}^{2}+{a}^{2}}，\frac{-{b}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}）$．
∴${k}_{D{F}_{2}}$=$\frac{\frac{-{b}^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}}{\frac{-2{a}^{2}c}{{c}^{2}+{a}^{2}}-c}$=$\frac{{b}^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$．
∵$\overrightarrow{D{F}_{2}}$•$\overrightarrow{BA}$=0，
∴${k}_{D{F}_{2}}$•k_AB=$\frac{{b}^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$•$（-\frac{b}{c}）$=-1．
化为：b⁴=3a²c²+c⁴，
∵b²=a²-c²，
∴a²=5c²．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．