Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为

1

2

，对称轴为坐标轴，且经过点（1，

3

2

）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，若原点O在以AB为直径的圆上，求直线斜率k的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意设出椭圆E的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点（1，

3

2

），待定系数法求出椭圆的方程；
（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再由原点O在以AB为直径的圆上，利用OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，解方程求出k的值，并检验判别式是否大于0．

解答： 解：（1）依题意，可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵

c

a

=

1

2

，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，
∵椭圆经过点（1，

3

2

），则有

1

a2

+

9

4b2

=1，解得c=1，a=2，b=

3

，
∴椭圆的方程为 

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）记A、B 两点坐标分别为A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
由

y=kx-2 3x2+4y2=12

 消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，即k²＞

1

4

，
由韦达定理 x₁+x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∵原点O在以AB为直径的圆上，
∴OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
又

OA

=（x₁，y₁ ），

OB

=（x₂，y₂ ），
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）•

4

4k2+3

-2k•

16k

4k2+3

+4=0．
∴k²=

4

3

＞

1

4

，∴k=±

2 3

3

．

点评：本题主要考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，一元二次方程根与系数的关系，注意判别式和向量的数量积的运用．