Question

已知m，n是方程x²+（2-k）x+k²+3k+5=0（k∈R）的两个实根，求m²+n²的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先利用韦达定理得出根与系数的关系，再将所求式变形，结合函数的判别式，确定函数在区间上为单调减函数，由此即可求得α²+β²的最大值，最小值．

解答： 解：∵m，n是方程x²+（2-k）x+k²+3k+5=0（k∈R）的两个实根
∴m+n=k-2，mn=k²+3k+5
∴m²+n²=（m+n）²-2mn=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

，
∴k=-4时，m²+n²取得最大，最大值为18，
k=-

4

3

时，m²+n²的最小值为

50

9

故答案为：18，

50

9

点评：本题考查根与系数关系的运用，考查二次函数最值的研究，其中构建函数，确定参数的范围是解题的关键．