Question

由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．

（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；
（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；
（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）由已知可得P（3，r）=

r(r+1)

2

，解不等式可得最小r的取值；
（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a₁，则P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．
（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n-2）r²+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n-2）r²+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=

r(r+1)

2

令

r(r+1)

2

＞36
即r²+r-72＞0，
解得r＞8
∴最小的r=9．
（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a₁，
则P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，
从图中可以得出：后一层的点在n-2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，
所以a_r+1-a_r=n-2，a₁=1
所以{a_r}是首项为1公差为n-2的等差数列，
所以P（n，r）=r+

(n-2)r(r-1)

2

；
（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n-2）r²+2r+1，
n=3时，满足题意；
而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n-2）r²+2r+1的判别式必须为0，
∴4-4（n-2）=0，∴n=3，
故满足题意的数列为“三角形数列”．

点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．