Question

定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）用单调性定义证明f（x）在（-1，0）上时减函数；
（3）当λ取何值时，不等式f（x）＞λ在R上有解．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数f（x）在x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

即可求得f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜0，作差f（x₁）-f（x₂）后化积，判断符号，得出f（x₁）-f（x₂）＞0，从而证得f（x）在（-1，0）上时减函数；
（3）依题意，可求得f（x）在[-1，1]上的解析式为f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0，±1 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

，分别求得当x∈（-1，0）与x∈（0，1）的值域，利用周期为2即可求得R上的值域．

解答： 解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

．…（2分）
又f（x）是奇函数，∴f （-x）=-f （x）=

2x

4x+1

．∴f（x）=-

2x

4x+1

．
∵f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．…．（3分）
∴f（x）在（-1，1）上的解析式为
f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

．…．（4分）
（2）证明：令-1＜x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=

2x2

4x2+1

-

2x1

4x1+1

=

(2x2-2x1)(1-2x2+x1)

(4x2+1)(4x1+1)

＞0，
∴f（x）在（-1，0）上时减函数； …．（7分）
（3）不等式f（x）＞λ在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f（x）在R上的最大值．
又f（x）是最小正周期为2的函数，∴对任意的x有f（x+2）=f（x）．∴f（-1）=f（-1+2）=f（1）．另一面f（-1）=-f（1），∴-f（1）=f（1）．∴f（1）=f（-1）=0．∴f（x）在[-1，1]上的解析式为
f（x）=

2x 4x+1 ，0＜x＜1 0，x=0，±1 - 2x 4x+1 ，-1＜x＜0

．…．（8分）
当x∈（-1，0）时，有-

1

2

＜f（x）=-

2x

4x+1

＜-

2

5

；…．（9分）
又f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上也是减函数，
∴

2

5

＜f（x）=

2x

4x+1

＜

1

2

，∴f（x）在[-1，1]上的值域是（-

1

2

，-

2

5

）∪{0}∪（

2

5

，

1

2

）…10分
由f（x）是周期为2的函数，故f（x）在R上的值域是（-

1

2

，-

2

5

）∪{0}∪（

2

5

，

1

2

）…11分
λ＜

1

2

时，不等式f（x）＞λ在R上有解．…．（12分）

点评：本题考查指、对数不等式的解法，着重考查函数的单调性的判断与证明，考查分段函数的解析式与值域的确定，考查转化思想，是难题．