题目内容
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+
=
，则
的最大值为 ．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| b+c |
| a |
考点：正弦定理,三角函数的化简求值
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：利用正弦定理将1+
=
，转化为cosA=
，求得A，再利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：∵A、B、C为△ABC中的角，角A、B、C所对边分别为a，b，c，
又1+
=
=
=
×
=
=
，
由正弦定理得：
=
=
，
∴cosA=
，又A为△ABC中的内角，
∴A=
；
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-2bc×
≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取“=”），
∴
的最大值为1．
=
=
≤
=2．
故答案为：2．
又1+
| tanA |
| tanB |
| tanB+tanA |
| tanB |
| ||||
|
| sin(A+B) |
| cosAcosB |
| cosB |
| sinB |
| sinC |
| sinBcosA |
| 2c |
| b |
由正弦定理得：
| sinC |
| sinBcosA |
| c |
| bcosA |
| 2c |
| b |
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-2bc×
| 1 |
| 2 |
≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取“=”），
∴
| bc |
| a2 |
| b+c |
| a |
(
|
1+
|
| 4 |
故答案为：2．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，考查基本不等式，求得cosA=
是关键，属于中档题
| 1 |
| 2 |
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