Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

在[1，+∞）上单调递增，且对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由题意对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0恒成立，所以x²+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，即a＞-x²-2x，设g（x）=-x²-2x，求出最大值即可

解答： 解：若对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0恒成立，则f（x）=

x2+2x+a

x

＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，
所以x²+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，
即a＞-x²-2x，设g（x）=-x²-2x
因为g（x）=-x²-2x在∈[1，+∞]上单调递减，
所以x=1时g（x）取最大值，最大值为-3，
∴a＞-3．
故a的范围为（-3，+∞）

点评：本题主要考查了函数的单调性和最值的关系，以及含所有参数的取值范围，关键是分离参数，属于中档题．