Question

2．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}sin\frac{π}{4}x，0x≤2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1，x＞2}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x²+2x）=a的实数根个数不可能为（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 由题意作函数y=f（x）的图象，从而分类讨论，利用排除法即可确定答案．

解答 解：由题意作函数y=f（x）的图象如下，

若a=0，则f（x²+2x）=0，
故x²+2x=0，故x=-2或x=0；
故排除D，
若a=$\frac{5}{4}$•sin$\frac{π}{4}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$时，
x²+2x=-1或x²+2x=1，
故有三个不同的根，
故排除C，
若0＜a＜$\frac{5\sqrt{2}}{8}$时，结合图象可知有四个不同的根，
故排除B，
故选A．

点评 本题考查了分段函数与复合函数的应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．