Question

12．斜率为k的直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F，且交抛物线C于A、B两点，已知点P（-1，k），且△PAB的面积为6$\sqrt{3}$，则k的值为（　　）

• A． ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． ±$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由抛物线C：y²=4x，可得焦点F（1，0）．设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．点P到直线l的距离d=$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．利用$\frac{1}{2}d$|AB|=$6\sqrt{3}$．即可得出．

解答 解：由抛物线C：y²=4x，可得焦点F（1，0）．
设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
可得：x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$．
点P到直线l的距离d=$\frac{|-k-k-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=$6\sqrt{3}$．
化为：k²=$\frac{1}{2}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．