Question

14．已知$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{1}{3}\\ y＞1\end{array}$，若对满足条件的任意实数x，y，不等式$\frac{{9{x^2}}}{{{a^2}（y-1）}}$+$\frac{y^2}{{{a^2}（3x-1）}}$≥1恒成立，则实数a的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分离变量a²，构造辅助函数t=$\frac{（3x-1）^{2}+2（3x-1）+1}{y-1}$+$\frac{（y-1）^{2}+2（y-1）+1}{3x-1}$，然后利用基本不等式求出t的最小值，从而得到a²的范围，进一步求得a的取值范围，得到a的最大值．

解答 解：不等式$\frac{{9{x^2}}}{{{a^2}（y-1）}}$+$\frac{y^2}{{{a^2}（3x-1）}}$≥1恒成立，
∴a²≤$\frac{9{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3x-1}$=$\frac{（3x-1）^{2}+2（3x-1）+1}{y-1}$+$\frac{（y-1）^{2}+2（y-1）+1}{3x-1}$，
令t=$\frac{（3x-1）^{2}+2（3x-1）+1}{y-1}$+$\frac{（y-1）^{2}+2（y-1）+1}{3x-1}$，
∵x$＞\frac{1}{3}$，y＞1，
∴y-1＞0，3x-1＞0，
∴t≥2$\sqrt{（3x-1+\frac{1}{3x-1}+2）•（y-1+\frac{1}{y-1}+2）}$≥2$\sqrt{（2+2）•（2+2）}$=8，
∴a²≤8，则-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
∴实数a的最大值是2$\sqrt{2}$
故答案为：2$\sqrt{2}$

点评 本题考查了利用基本不等式求函数的最值，训练了函数构造法，解答的关键是把构造出的函数灵活变形，然后利用基本不等式求最值．是中档题．