Question

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点Q（2，

2

）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且

OA

⊥

OB

，求△OAB的面积的取值范围．
（3）过M（x₁，y₁）的直线l₁：x₁x+2y₁y=8

2

与过N（x₂，y₂）的直线l₂：x₂x+2y₂y=8

2

的交点P（x₀，y₀）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求

OG

•

OH

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把M（2，

2

）代入及2b=4即可得出；
（2）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线L斜率存在时设方程为y=kx+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系、利用向量垂直与数量积的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式可得，当斜率不存在时，直接得出；
（3）由点P（x₀，y₀）在直线l₁：x1x+2y1y=8

2

和l₂：x2x+2y2y=8

2

上，可得直线MN的方程是x x0+2y y0=8

2

，求出与椭圆准线的交点G，H，再利用向量垂直与数量积的关系、点P在椭圆上即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过M（2，

2

），2b=4
可求得b=2，a=2

2

．
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线L斜率存在时设方程为y=kx+m，
联立

y=kx+m x2+2y2=8

化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0（*）．
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
要使

OA

⊥

OB

，需要x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，即m2=

8k2+8

3

①
将它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）
P到L的距离为d=

|m|

1+k2

又

∴S= 1 2 |AB|d= 1 2 1+k2 |x1-x2|• |m| 1+k2 = 1 2 m2[(x1+x2)2-4x1x2]

将m2=

8k2+8

3

及韦达定理代入可得S=

8

3

1+ k2 4k4+4k2+1

①当k≠0时S=

8

3

1+ k2 4k4+4k2+1

=

8

3

1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

由4k2+

1

k2

∈[4，+∞)故S=

8

3

1+ 1 4k2+ 1 k2 +4

∈(

8

3

，2

2

]
②当k=0时，S=

8

3

③当AB的斜率不存在时，S=

8

3

，综上S∈[

8

3

（3）点P（x₀，y₀）在直线l₁：x1x+2y1y=8

2

和l₂：x2x+2y2y=8

2

上，
x1x0+2y1y0=8

2

，x2x0+2y2y0=8

2

故点M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）在直线x x0+2y y0=8

2

上．
故直线MN的方程，x x0+2y y0=8

2

上，
设G，H分别是直线MN与椭圆准线，x=±4的交点
由x x0+2y y0=8

2

和x=-4得G（-4，

4 2 +2x0

y0

）
由x x0+2y y0=8

2

和x=4得H（4，

4 2 -2x0

y0

）
故

OG

•

OH

=-16+

32-4x02

y02

又P（x₀，y₀）在椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1
有

x02

8

+

y02

4

=1故4x02=32-8y0^ 

OG

•

OH

=-16+

32-(32-8y02 )

y02

=-8

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．