Question

15．如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的点，CA平分∠BAF，过C点作圆O的切线交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为M．
（1）求证：CD⊥AF；
（2）若CD=$\sqrt{2}$，AM=2，求BM的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆的切线性质即可在证明CD⊥AF；
（2）利用三角形全等以及射影定理进行求解即可．

解答 解：（1）∵CA平分∠BAF，∴∠BAC=∠CAD，
∵CD是圆的切线，
∴∠ACD=∠ABC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ABC+∠BAC=∠ACD+∠CAD=90°，
则∠ADC=90°，
即CD⊥AF；
（2）∵∠BAC=∠CAD，AC是公共边，
∴Rt△AMC≌Rt△ADC
∴CM=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABCA，CM⊥AB，AM=2，
由射影定理得CM²=AM•BM，得BM=1．

点评 本题主要考查几何的证明，涉及圆的切线以及三角形全等，考查学生的推理能力．