Question

7．在平面内，$\overrightarrow{A{B_1}}$⊥$\overrightarrow{A{B_2}}$，|$\overrightarrow{O{B_1}}$|=|$\overrightarrow{O{B_2}}$|=2，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{B_1}}$+$\overrightarrow{A{B_2}}$，若|${\overrightarrow{OP}}$|＜1，则|${\overrightarrow{OA}}$|的取值范围是（$\sqrt{7}$，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由题意，A、B₁、P、B₂构成矩形AB₁PB₂，以AB₁，AB₂所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出点O的坐标（x，y）与点P的坐标（a，b），求出x²+y²的取值范围，再求|$\overrightarrow{OA}$|的取值范围．

解答 解：根据题意知，A、B₁、P、B₂构成一个矩形AB₁PB₂，
以AB₁，AB₂所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；
设|AB₁|=a，|AB₂|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；
B₁（a，0），B₂（0，b），
由|$\overrightarrow{{OB}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{OB}_{2}}$|=2，得$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}+{y}^{2}=4}\\{{x}^{2}+（y-b）^{2}=4}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}=4-{y}^{2}}\\{（y-b）^{2}=4-{x}^{2}}\end{array}\right.$；
∵|$\overrightarrow{OP}$|＜1，∴（x-a）²+（y-b）²＜1，
∴4-y²+4-x²＜1，
∴x²+y²＞7；①
又∵（x-a）²+y²=4，
∴y²=4-（x-a）²≤4，
∴y²≤4，
同理x²≤4，
∴x²+y²≤8；②
由①②知7＜x²+y²≤8，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，
∴$\sqrt{7}$＜|$\overrightarrow{OA}$|≤2$\sqrt{2}$．
故答案为：（$\sqrt{7}$，2$\sqrt{2}$]

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了不等式的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力，有一定的难度．