Question

6．已知函数f（x）=1-xlnx-ax在（1，f（1））处的切线与2x+y+2=0平行
（Ⅰ）求实数a的值和f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-x²+2kx（k＞0），若对任意x₂∈[0，1]总存在x₁∈（0，+∞）使得g（x₂）＜f（x₁），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f′（1），解出a，求出f（x）的表达式，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为g（x）_max＜f（x）_max，结合函数的单调性，分别求出f（x），g（x）在其区间上的最大值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知在（1，f（1））处的切线的斜率为-2，
又f′（x）=-lnx-1-a，
∴f′（1）=-ln1-1-a=-1-a=-2，所以a=1，
所以f（x）=1-xlnx-x，f′（x）=-lnx-2，
由f′（x）=-lnx-2＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
f′（x）=-lnx-2＜0，解得：x＞$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴f（x） 的增区间为（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$），减区间为（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）；
（Ⅱ）对任意x₂[0，1]总存在x₁∈（0，+∞）使得g（x₂）＜f（x₁），
∴g（x）_max＜f（x）_max，
又（Ⅰ）知当x=$\frac{1}{{e}^{2}}$时f（x）_max=f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=1+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
对于g（x）=-x²+2kx，其对称轴为x=k，又k＞0，
①0＜k≤1 时，g（x）_max=g（k）=k²，
∴k²＜1+$\frac{1}{{e}^{2}}$，从而0＜k≤1；
②k＞1时，g（x）_max=g（1）=2k-1，
∴2k-1＜1+$\frac{1}{{e}^{2}}$，从而1＜k＜1+$\frac{1}{{2e}^{2}}$，
综上可知，0＜k＜1+$\frac{1}{{2e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．